†[基礎物理學]基础物理学 B II 概要

序

这是北航基础物理学 B (II) 概要。

根据北京航空航天大学计算机学院发布的
《2025 级本科培养方案（计算机科学与技术专业）》，
⌈数理基础课⌋类取消了⌈基础物理学 B（2）⌋一门课程，
标志着 6 系已经告别了全部的必修物理课程。

目录

• 气体动理论

• 热力学基础

• 机械振动和电磁振荡

• 机械波和电磁波

• 光学

• 早期量子论和量子力学基础。

气体动理论

气体的物态方程

• 平衡态：不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随着时间变化的状态。反之称为非平衡态

• 准静态过程：气体状态变化过程极其缓慢，以至于每个中间状态都无限接近于平衡态

• 状态参量

  • $m$：质量
  • $M$：摩尔质量
  • $V$：体积
  • $p$：压强
  • $T$：温度

• 理想气体：遵守玻意耳定律，盖-吕萨克定律和查理定律的气体

• 理想气体状态方程

$$pV=\frac{m}{M}RT\quad \text{or}\quad pV=nRT\\$$

• 全微分形式

$$p\text{d}V+V\text{d}p=nR\text{d}T$$

• R 称为普适气体常量

• 理想气体的微观模型

  • 分子大小忽略不计
  • 除碰撞，分子间作用力忽略
  • 所有碰撞是完全弹性碰撞
  • $\bar{v^2}=\bar{v^2_x}+\bar{v^2_y}+\bar{v^2_z}$，即分子速度分量平方平均值相等，且等于速率平方平均值的 1/3

• 范德华方程

理想气体的压强和温度公式

• 布朗运动

• 气体动理论的压强公式：$$p=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon_k}$$其中 $\bar{\varepsilon_k}$ 是分子平均平动动能，$n$ 是气体分子数密度，即 $n=\frac{N}{V}$

• 温度的本质：气体分子平均平动动能的量度。 $$\bar{\varepsilon_k}=\frac{3}{2}kT$$$k$ 称为玻尔兹曼常量，$k=\frac{R}{N_A}$，其中 $N_A$ 是阿伏伽德罗常数

• 上述两条综合得到 $p=nkT$，从理想气体状态方程推出，则为

$$pV=\frac{N}{N_A}RT \rightarrow p=\frac{N}{V}\frac{R}{N_A}T$$

• 气体分子的方均根速率：$$v_{rms}=\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$ 其中 $m_0$ 是单个分子的质量

能量均分定理 理想气体的内能

• 分子自由度

• 能量均分定理：如果气体分子有 $i$ 个自由度，那么每个分子的平均总动能是 $$\bar{\varepsilon_k}=\frac{i}{2}kT$$ （注意辨别平均总动能和平均平动动能，实则平均平动动能的 3/2 正是平动自由度的体现）

• 理想气体的内能：n mol 理想气体的内能是 $$E=n\frac{i}{2}RT=\frac{m}{M}\frac{i}{2}RT$$

麦克斯韦速率分布

• $$f(v)\text{d}v=\frac{\text{d}N}{N}$$

以下所有 $f(v)$ 指代分子速率分布函数

• 速率平均值

$$\bar{v}=\int_{0}^{\infty}vf(v)\text{d}v$$

• 速率平方平均值

$$\bar{v^2}=\int_{0}^{\infty}v^2f(v)\text{d}v$$

• 麦克斯韦速率分布函数

$$f(v)=4\pi(\frac{m_0}{2\pi kT} )^{\frac{3}{2}}v^2\text{exp}(-\frac{m_0v^2}{2kT} )$$

三种统计速率

以下所有 $m_0$ 指代单个分子质量

• 分子平均速率

$$\bar{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}=1.60\sqrt{\frac{RT}{M}}$$

• 方均根速率

$$v_{rms}=\sqrt{\bar{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=1.73\sqrt{\frac{RT}{M}}$$

• 最概然速率

$$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}=1.41\sqrt{\frac{RT}{M}}$$ 所以 $v_{rms}>\bar{v}>v_p$

玻尔兹曼能量分布定律

• 重力场中粒子分布：高度为 $z$ 处单位体积的粒子数为

$$n=n_0\text{exp}(-\frac{m_0gz}{kT})$$

其中 $n_0$ 是势能零点z = 0处的分子数密度，$m_0$ 是单个分子质量

• 气压公式

$$p=p_0\text{exp}(-\frac{m_0gz}{kT})$$

分子碰撞与平均自由程

• 平均碰撞次数
  以下所有 $n$ 为单位体积内的分子数
  以下所有 $d$ 为分子的直径（或有效直径，即两分子质心之间的最小距离的平均值）

$$\bar{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\bar{v}n$$

• 分子平均自由程

$$\bar{\lambda}=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}$$ 由 $p=nkT$ 得： $$\bar{\lambda}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}$$

热力学基础

热力学第零定律 热力学第一定律

• 热力学第零定律：如果两个物体都与处于确定状态的第三个物体处于热平衡状态，那么这两个物体彼此处于热平衡状态

• 气体对外做功

$$\text dA=p\text dV$$ 其中 $A$ 是功，对外时取正，对内时取负

• 内能：内能的改变量只取决于系统初末状态（温度，见上），而与过程无关

• 热力学第一定律：外界对系统传递热量，一部分使系统内能增加，另一部分用于系统对外做功

$$Q=E_2-E_1+A$$

其中 $Q$ 是热量，系统从外界吸热取正，放热给外界取负
其中 $E$ 是内能，内能取决于温度（见上）
其中 $A$ 是功（见上）

• 热力学第一定律的微分形式

$$\text{d}Q=p\text{d}V+n\frac{i}{2}R\text{d}T$$

理想气体准静态过程

等容过程

• 气体体积保持不变的过程

• 外界传递的热量全部用于增加内能

• 摩尔定容热容 $C_{V,m}$：1 mol 气体在体积不变时，温度改变 1 K 吸收或释放的热量

$$C_{V,m}=\frac{i}{2}R$$

其中 $i$ 是气体分子自由度

• 理想气体内能变化的通用公式

$$\text{d}E=\frac{m}{M}C_{V,m}\text{d}T$$

等压过程

• 气体压强保持不变的过程

• 等压膨胀过程中，气体吸收的一部分热量用于增加内能，一部分能量用于对外做功；等压压缩过程中，外界对气体做功，同时内能减小，放出热量

• 摩尔定压热容 $C_{p,m}$：1 mol 气体在压强不变时，温度改变 1 K 吸收或释放的热量

• 迈耶公式

$$C_{p,m}=C_{V,m}+R$$

• 摩尔热容比绝热指数 $\gamma$

$$\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}$$

等温过程

• 气体温度保持不变的过程

• 内能也不变

• 等温膨胀过程中，气体吸收的热量全部用于对外做功；等温压缩时，外界对气体做的功全部转化为给恒温热源的热量

• 吸热等于做功

$$Q=A=\frac{m}{M}RT\ln{\frac{V_2}{V_1}}=\frac{m}{M}RT\ln{\frac{p_1}{p_2}}$$

绝热过程

• 气体不与外界产生任何热量交换的过程

• 绝热压缩过程中，外界对气体所做的功全部转化为内能的增加；绝热膨胀过程中，内能全部转化为对外做功

• 绝热过程方程

$$\begin{aligned} & pV^{\gamma}=\text{Const.}\\ & V^{\gamma-1}T=\text{Const.}\\ & p^{\gamma-1}T^{-\gamma}=\text{Const.} \end{aligned}$$

• 等温线和绝热线：绝热线斜率绝对值较大

• 绝热过程做功

$$A=-\Delta E=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$$

多方过程

• 介于等温过程和绝热过程之间的过程

• 多方过程方程

$$pV^n=\text{Const.}$$

循环过程 卡诺循环

• 循环过程：一个热力学系统从一个状态出发，经过一系列变化，回到初始状态

• 在 p-V 图上，用一闭合曲线表示。若沿顺时针进行，则为正循环；若沿逆时针进行，则为逆循环

• 工质：做循环过程的热力学系统

• 热机：做正循环的设备

• 制冷机：做逆循环的设备

• 循环过程的特征：内能不变（p, V 均不变），即吸收（或）放出的净热量等于系统对外（或外界对系统）做的净功

• 热机效率 $\eta$

$$\eta = \frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}$$

其中 $Q_1$ 是工质从高温热源吸收的热量，$Q_2$ 是工质向低温热源传递的热量，由于内能不变，热量差等于对外做功 $A$

• 制冷系数 $w$

$$w = \frac{Q_2}{A} = \frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$$

其中 $Q_2$ 是工质从低温热源吸收的热量，$Q_1$ 是工质向高温热源传递的热量，由于内能不变，热量差等于外界对工质做的功 $A$

• 卡诺循环：在两个恒定温度的热源高温 $T_1$ 和低温 $T_2$之间工作的循环过程

1. 等温膨胀，吸收 $Q_1$

2. 绝热膨胀

3. 等温压缩，释放 $Q_2$

4. 绝热压缩

• 卡诺热机效率 $\eta _{Carnot}$

$$\eta_{Carnot}=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

• 卡诺循环的特点

  • 需要高温热源和低温热源
  • 效率只与两个热源的温度相关。温差越大，效率越大
  • 效率永远小于 1

• 卡诺制冷系数 $w_{Carnot}$

$$w_{Carnot}=\frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}=\frac{T_2}{T_1 - T_2}$$

热力学第二定律

• 开尔文表述：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而不产生其他影响。

• 克劳修斯表述：热量不可能自发地从低温物体传向高温物体。

• 两种表述等价

可逆过程与不可逆过程 卡诺定理

• 可逆过程：过程中经历的一切中间状态都是无限接近于平衡态的准静态（无限缓慢，没有任何机械能耗散）

• 卡诺定理

  • 卡诺循环是可逆循环，完成可逆循环的热机叫可逆机
  • 同样的高$T_1$低$T_2$温热源间运作的一切可逆机，不论用什么工质，效率都等于 $1-\frac{T_1}{T_2}$
  • 同样高低温热源间运作的一切不可逆机，效率一定低于可逆机

熵 玻尔兹曼关系

• 系统沿可逆过程从状态 A 到状态 B，熵变为：

$$S_B-S_A=\int_{A}^{B}\frac{\delta Q}{T}$$

• 对于一段无限小的可逆过程，熵变为：

$$\delta S=\frac{\delta Q}{T}$$

• 一个可逆循环，熵变为 0

• 同样初末状态的不可逆过程，熵变大于可逆过程的

• 玻尔兹曼关系

$$S=k\ln W$$

其中 $W$ 表示宏观状态出现的概率

• 理想气体的熵变公式

  • 熵只和初末状态相关，并且任何准静态过程都能拆成一个等温过程和一个等容过程
  $$\Delta S=nC_{V,m}\ln\frac{T_2}{T_1}+nR\ln\frac{V_2}{V_1}$$
  • 等温过程：由热力学第一定律和理想气体状态方程，$\text{d}Q=\text{d}A=p\text{d}V=\frac{nRT\text{d}V}{V}$，有
  $$\Delta S_1=\int_{V_1}^{V_2}\frac{\text{d} Q}{T}=\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{T}p\text{d}V=nR\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\text{d}V=nR\ln\frac{V_2}{V_1}$$
  • 等容过程：由热力学第一定律，$\text{d}Q=n\frac{i}{2}R\text{d}T=nC_{V,m}\text{d}T$，有
  $$\Delta S_2=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\text{d} Q}{T}=\frac{nC_{V,m}\text{d}T}{T}=nC_{V,m}\ln\frac{T_2}{T_1}$$ $\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2$

熵增加原理 热力学第二定律的统计学意义

• 孤立系统：与外界没有物质和能量交换的系统

• 熵增加原理：在孤立系统中，任何不可逆过程导致熵增，只有可逆过程保持熵不变

• 热力学第二定律的统计学意义：孤立系统内部发生的过程，总是由概率小的状态转为概率大的状态，由包含微观状态数目少的状态转为包含微观状态数目多的状态

机械振动和电磁振荡

简谐振动

简谐振动的描述

• 平衡位置：物体所受合力为 0 的位置

• 简谐振动：物体所受合外力与离开平衡位置的位移满足：

$$F=-kx$$

• 简谐振动的表达式

$$x=A\cos(\omega t+\phi_0)$$

• $A$ : 振幅
• $\omega$ : 角频率
• $T$ : 周期，$T = \frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• $\nu$ : 振动频率，$\nu = \frac{1}{T}$，$\omega = 2\pi \nu$
• $\omega t + \phi_0$ : 相位，$\phi_0$ 称为初相

• 同相：两简谐振动的物体 $\Delta \phi = 0 \; \text{or} \; 2k\pi$

• 反相：两简谐振动的物体 $\Delta \phi = (2k+1)\pi$

• 旋转振幅矢量法

几种常见简谐振动

• 单摆

  • $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

• 复摆

  • $T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgh}}$

  其中 $J$ 是绕轴转动惯量，$h$ 是质心到轴距离

简谐振动能量

• 简谐振动的动能和势能随时间做周期性变化，但总机械能保持不变：

$$E=\frac{1}{2}kA^2$$

阻尼振动

• 无阻尼振动：只受回复力的振动

• 阻尼振动：回复力和阻力共同作用的振动

• 阻力系数 $\gamma$

$$F_f=-\gamma v$$

即阻力与速度大小成正比，方向相反

• 阻尼系数 $\delta$

$$\delta = \frac{\gamma}{2m}$$

• 过阻尼：物体以非周期方式回到平衡位置，$\delta>\omega_0$

• 临界阻尼：物体周期地平滑地回到平衡位置，$\delta=\omega_0$

受迫振动 共振

• 受迫振动：物体在外力作用下周期振动，外力称为驱动力

• 受迫振动特点

  • 振动角频率是驱动力角频率
  • 振幅取决于振子，阻尼和驱动力

• 共振

  • 位移共振：驱动力角频率为某个特定值时，位移振幅达到最大值，称为位移共振
  $$\omega = \sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}$$
  • 位移共振：驱动力角频率略小于系统的固有频率
  • 速度共振：受迫振动的速度发生共振
  $$\omega = \omega_0$$
  • 速度共振：驱动力角频率等于系统固有频率

电磁振荡

• LC 电路振荡

  • 周期
  $$T_{LC}=2\pi \sqrt{LC}$$
  • 能量
  $$W=\frac{Q_0^2}{2C}$$

  其中 $Q_0$ 是极板上电荷量最大值

  • 电场能量和磁场能量周期变化，但总的电磁能量保持不变

• 受迫振荡 电共振

  • 外加电动势频率与自由振荡频率相等，等于 $\sqrt{\frac{1}{LC}}$ 时，电流振幅最大，等于 $\frac{\varepsilon_0}{R}$，其中 $\varepsilon_0$ 是电动势幅值，$R$ 是外加电阻

一维简谐振动合成

同方向同频率简谐振动合成

• 直线上一质点参与两个独立的同频率简谐振动，两个简谐振动表达式为：

$$\begin{aligned} & x_1=A_1\cos(\omega t+\phi_1)\\ & x_2=A_2\cos(\omega t+\phi_2) \end{aligned}$$

则合成为一个简谐运动：

$$x=A\cos(\omega t+\phi)$$

其中：

$$\begin{aligned} & A=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)}\\ & \tan \phi = \frac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2} \end{aligned}$$

同方向不同频率简谐振动合成 拍

• 拍：两个频率较大且差值较小的简谐运动合成时，合振幅周期性时强时弱的现象

$$\nu_{beat}=|\nu_2-\nu_1|$$

二维简谐振动合成

• 相互垂直的同频率振动合成

  • $\phi_1 = \phi_2$，质点轨迹是一条过原点的直线，斜率为 $\frac{A_2}{A_1}$，振幅为 $\sqrt{A_1^2+A_2^2}$
  • $\phi_2 - \phi_1 = \pi$，斜率为 $-\frac{A_2}{A_1}$，振幅为 $\sqrt{A_1^2+A_2^2}$
  • $\phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2}$，运动是椭圆
  • $\phi_2 - \phi_1 = \frac{3\pi}{2} \; \text{or} \; -\frac{\pi}{2}$，与上述相反
  • 两个运动振幅相等 $(A_1=A_2)$，相位差为 $\pm\frac{\pi}{2}$，则合运动为圆形

• 相互垂直的不同频率振动合成

  • 李萨如图形等

机械波和电磁波

机械波的产生和传播

• 机械波：机械振动在介质中传播

• 波源：做机械振动的物体

• 弹性介质

• 横波：振动方向与传播方向垂直

• 纵波：振动方向与传播方向平行

• 简谐波：波源做简谐振动

• 波阵面

• 波前

• 平面波

• 球面波

• 波长 $\lambda$：两个相邻的相位差为 $2\pi$ 的质元之间的距离

• 周期 $T$：波前进一个波长的时间

• 频率 $\nu$：周期的倒数

• 波速 $u$：单位时间内振动状态传播的距离

$$u=\frac{\lambda}{T}=\nu\lambda$$

平面简谐波的波函数

• 正向传播：$t$ 时间，距离波源（原点） $x$ 处的质点的位移是：

$$y(x,t)=A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]$$

这是因为 $x$ 处的质点相位落后于波源（原点）

• 反向传播：

$$y(x,t)=A\cos[\omega(t+\frac{x}{u})+\phi_0]$$

这是因为 $x$ 处的质点相位超前于波源（原点）

• 简谐波的其它表示形式

$$y(x,t)=A\cos(\omega t\pm\frac{2\pi x}{\lambda} + \phi_0)$$

平面波的波动方程

$$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$

运动符合上述公式的，一定是一个以 $u$ 为传播速度的波动过程。

波的能量 波的强度

• 质元的动能和势能的时间关系式是相同的，两者大小总是相等，这与单个质点做简谐振动时完全不同

• 质元的总机械能随时间周期性变化
  以下 $\rho$ 均表示介质密度

• 平均能量密度 $\bar w$

$$\bar w=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$$

• 能流：单位时间内通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流

• 波的强度平均能流密度 $I$

$$I = \bar wu = \frac{1}{2}\rho u A^2\omega^2 = \frac{1}{2}ZA^2\omega^2$$

特性阻抗 $Z$

$$Z = \rho u$$

以上公式表明弹性介质中简谐波的强度正比于振幅的平方，正比于角频率的平方，正比于介质的特性阻抗

• 平面波和球面波的振幅

  • 平面波：介质不吸收能量时，所有质元振幅保持不变
  • 球面波：距离波源 $r_1$ 和 $r_2$ 的两个球面处振幅满足 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_2}{r_1}$。推导：通过两个球面的能流大小相等

惠更斯原理 波的衍射 反射和折射

• 惠更斯原理：波前上每一点都可以看作是发射子波的波源，其后任意时刻，子波的包络面形成新的波阵面

• 波的衍射：传播中遇到障碍物，传播方向绕过障碍物发生偏折的现象

  • 发生明显衍射的条件：障碍物（或孔）的尺寸接近波长或小于波长

• 反射和折射

  • 反射定律：入射角等于反射角
  • 折射定律：入射角 $i$，折射角 $r$，则 $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{u_1}{u_2}=n_{21}$，其中 $u$ 是介质中的速率，$n$ 是相对折射率

波的叠加原理 波的干涉 驻波

• 波的叠加原理：几列波在空间中相遇，那么它们将保持自己原有的特性（频率，波长等），该处质元的振动为各列波单独在此处引起的振动的合振动。以上在波的强度不太大时成立

• 波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定时的叠加。在空间某些点，振动始终加强；另外一些点，振动始终减弱

• 相干波：能产生干涉现象的波。其波源称为相干波源

• 两列相干波源相位相同时

$$r_1-r_2=2k\frac{\lambda}{2}\quad k=0,\pm1,\pm2,...$$

波程差等于半波长的偶数倍，则振幅加强

$$r_1-r_2=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad k=0,\pm1,\pm2,...$$

波程差等于半波长的奇数倍，则振动减弱

• 叠加后波的强度

$$I'=4I\cos^2\frac{\Delta \phi}{2}$$

波的强度最大可到原来的 4 倍

• 驻波：合成波中各质元各自以确定的不同振幅在各自平衡位置附近振动，且没有相位传播

• 波节：永远不动的点

• 波腹：最大振幅的点

$$y=(2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x)\cos\frac{2\pi}{T}t$$

各质元的振幅是 $|2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x|$，只与位置有关而与时间无关

• 波腹位置

$$x=2k\frac{\lambda}{4}$$

四分之一波长的偶数倍

• 波节位置

$$x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}$$

四分之一波长的奇数倍

• 驻波的能量转化：能量不断由波腹转移到波节，又由波节转移到波腹

• 波密介质：介质密度 $\rho$ 乘以波速 $u$ 较大的介质称为波密介质，反之为波疏介质

• 半波损失：波从波疏介质传递到波密介质，在分界面发生反射时，反射点出现波节，即有 $\pi$ 的相位突变；从波密介质传递到波疏介质时，没有半波损失

多普勒效应

• R 表示 Receiver观察者，S 表示 Source波源，记波源和观察者相向运动时，$v$ 均取正值；相背运动时，均取负值

$$\nu_R=\frac{u+v_R}{u-v_S}\nu_S$$

• 观察者和波源沿着连线的垂直方向运动时，没有多普勒效应；方向任意时，使用速度分量计算

电磁波

• 性质

  • 横波
  • 具有偏振性
  • E 和 H 同相位
  • $\sqrt\varepsilon E=\sqrt\mu H$，其中 $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$ 是介电常数，$\mu=\mu_r\mu_0$ 是磁导率
  • 传播速度为 $u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$，故 $E=uB$
  • 在真空中，$\varepsilon=\varepsilon_0$，$\mu=\mu_0$，所以光速 $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$
  • 电磁波能量
    • 电场能量 $w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$
    • 磁场能量 $w_m=\frac{1}{2}\mu H^2$
    • 能流密度 $S=(w_e+w_m)u=EH$
    • 能流密度矢量坡印廷矢量 $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$
    • 平均能流密度 $\bar S=\frac{1}{2}\varepsilon_0cE^2_0\;\text{or}\;\frac{1}{2}\mu_0cH^2_0$

光学

几何光学

略。

相干光

• 发光原理

• 单色光：单一频率的光

• 相干光：振动频率相同，振动方向相同且相位差恒定的光

• 获得相干光

  • 分波阵面法：杨氏双缝干涉等
  • 分振幅法：薄膜干涉等

双缝干涉

• 缝隙到屏幕距离为 $D$，双缝间距 $d$，波长 $\lambda$，干涉条纹距离中央位置 $x$

• 明纹条件

$$x=\pm 2k\frac{D\lambda}{2d}\quad k=0,1,2,...$$

• 暗纹条件

$$x=\pm (2k+1)\frac{D\lambda}{2d}\quad k=0,1,2,...$$

• 两相邻明纹或两相邻暗纹之间的间距都是 $\Delta x=\frac{D\lambda}{d}$

• 光强分布：同机械波的干涉

• 劳埃德镜

  • 如果屏幕紧贴平面镜，中央位置是暗纹，因为出现了半波损失。直射光和反射光相位差为 $\pi$

光程 光程差

• 光程：光波在介质中的路程 $x$ 相当于在真空中的路程 $nx$，故光程等于介质中的几何路程 $x$ 乘以介质的折射率 $n$。

• 光程差：两相干波在相遇点的相位差取决于其光程的差，而非几何路程的差，光程差 $\delta=n_2r_2-n_1r_1$。相位差表示为：

$$\Delta \phi=\frac{2\pi\delta}{\lambda}$$

（从 $\frac{\delta}{\lambda}=\frac{\Delta\phi}{2\pi}$ 推导而来）

• 物像之间的等光程性：透镜只会改变光波的传播路径，不会引起附加的光程差

• 半波损失：发生半波损失，会有 $\pi$ 的相位突变，即光程突变 $\frac{\lambda}{2}$。对于折射光，没有半波损失

薄膜干涉

• 等倾干涉

  • 明纹条件：$\delta = 2k\frac{\lambda}{2}\quad k=1,2,...$
  • 暗纹条件：$\delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad k = 0,1,2,...$
  • 靠近中心的条纹级数大，边缘的级数小
  • 靠近中间的条纹间距大，边缘的间距小
  • 增透膜：反射光干涉相消，有：
  $$2nd=(k+\frac{1}{2})\lambda\quad k=0,1,2,...$$

  （在膜的上下表面的反射光都有半波损失，因此没有附加的光程差）
  最小膜厚度为：

  $$d= \frac{\lambda}{4n}$$
  • 增反膜：反射光干涉增强

• 等厚干涉

  • 劈尖膜
    • 上下表面反射的光的光程差 $\delta=2nd+\frac{\lambda}{2}$，$n$ 是两表面间介质的折射率，$\frac{\lambda}{2}$ 是半波损失导致的
    • 明纹条件：$\delta = 2k\frac{\lambda}{2}\quad k=1,2,...$
    • 暗纹条件：$\delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad k = 0,1,2,...$
    • 劈尖棱（玻璃相接触的位置）处，$\delta=\frac{\lambda}{2}$，即为暗纹
    • 对于空气劈尖，两个相邻的明纹或两个相邻的暗纹之间的距离 $l$ 由下式决定：
    $$l\sin\theta=\frac{\lambda}{2}$$
    • 条纹往低处扭曲，则下表面凹陷；条纹往高处扭曲，则下表面凸起
  • 牛顿环
    • 由透镜下表面和平面玻璃上表面反射的光干涉而形成
    • 夹层是空气，因此光程差 $\delta = 2d+\frac{\lambda}{2}$
    • 明纹条件：$\delta = 2k\frac{\lambda}{2}\quad k=1,2,...$
    • 暗纹条件：$\delta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad k = 0,1,2,...$
    • 级数增大，离中心越远，条纹越密

迈克耳孙干涉仪

• 静镜 M₂ 形成的虚像 M₂’ 如果和动镜 M₁ 平行，则相当于等倾干涉，干涉条纹是同心圆；否则是等厚干涉，干涉条纹是平行条纹

• 动镜 M₁ 平移的距离 $d=N\frac{\lambda}{2}$，其中 $N$ 是视场中移过的明纹条数

光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理

• 惠更斯-菲涅耳原理：波在传播过程中，同一波阵面上各点发出的子波，在空间某点相遇时产生相干叠加

• 夫琅禾费单缝衍射

  • 衍射角 $\theta$：衍射后某一方向传播的子波波线与衍射屏法线所成的角
  • 缝宽 $a$
  • 暗纹条件：
  $$a\sin\theta=\pm 2k\frac{\lambda}{2}\quad k =1,2,3,...$$

  k 级暗纹对应于单缝处波面可以划分 2k 个半波带

  • 两个第一级暗纹之间 ($k=1$) 为中央明纹，满足：
  $$-\lambda<a\sin\theta<\lambda$$

  故中央明纹的宽度是其它条纹的 2 倍

  • 其他各级明纹：
  $$a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}$$

  k 级明纹对应于单缝处波面可以划分 2k + 1 个半波带

  • 光强
  $$I(\theta)=I_0(\frac{\sin u}{u})^2$$

  其中 $u=\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}$，$I_0$ 是中央明纹处的光强

• 夫琅禾费圆孔衍射

  • 第一级暗环围绕的亮斑称为艾里斑
  • 第一级暗环的衍射角 $\theta_1$ 满足：
  $$\sin\theta_1=1.22\frac{\lambda}{d}$$

  其中 $d$ 是圆孔直径

• 光学仪器的分辨本领

  • 最小分辨角 $\theta_R = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
  • 分辨率 $R=\frac{1}{\theta_R}$

光栅衍射

• 狭缝总数 $N$

• 缝宽 $a$

• 不透光部分长度 $b$

• 光栅常量 $d=a+b$

• 光栅的衍射条纹是单缝衍射和多缝干涉的结果

• 光栅方程主极大

$$d\sin\theta=\pm k \lambda\quad k=0,1,2,...$$

满足上述公式为明条纹，称为主极大。$k=0$ 称为中央明纹，明纹正、负号表示各级明纹分布在中央明纹两侧

• 相邻两狭缝的衍射光的光程差为 $|d\sin\theta|=k\lambda$

• 暗纹极小

$$d\sin\theta=\frac{k'}{N}\lambda \quad k'\ne kN$$

（$k'$ 是非零整数，但不等于 $N$ 的整数倍）

• 缺级：满足主极大条件，同时满足单缝衍射的暗纹条件，联立：

$$\begin{align} & (a+b)\sin\theta=k\lambda \\ & a\sin\theta = k'\lambda \end{align}$$

则缺级的级数 $k$ 为：

$$k=\frac{a+b}{a}k' \quad k'=\pm 1,\pm 2,...$$

• 光栅分辨本领分辨率 $R$

  • 要能分辨第 $k$ 级谱线光谱中波长为 $\lambda$ 和 $\lambda + \Delta\lambda$ 的两条谱线，则分辨率为：
  $$R=\frac{\bar\lambda}{\Delta\lambda}=kN$$

  其中 $\bar\lambda$ 是两条谱线波长的平均值

• 光栅衍射的光强分布：设中央明纹是 $I_0$，衍射角为 $\theta$ 处的 P 点光强是

$$I_\theta=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2$$

其中 $\alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta$，$\beta=\frac{\pi(a+b)}{\lambda}\sin\theta$

X 射线的衍射

• 晶面间距 $d$：各原子层之间的距离

• 掠射角 $\theta$：入射的 X 射线与晶面成的角

• 明纹条件布拉格公式

$$2d\sin\theta=k\lambda \quad k=1,2,3,...$$

光的偏振

• 光矢量 $\mathbf{E}$：电场强度矢量

• 线偏振光：光矢量始终沿某一方向振动

• 自然光：非偏振光

• 圆偏振光，椭圆偏振光：光矢量绕着传播方向旋转

• 马吕斯定律

$$I_2=I_1\cos^2\alpha$$

其中 $\alpha$ 是入射光偏振方向和检偏器偏振化方向的夹角

• 起偏角 $i_B$：自然光以起偏角入射到反射面上，反射光是完全偏振光，振动方向垂直于入射面；折射光是部分偏振光。记折射角为 $r$，则

$$i_B+r=\frac{\pi}{2}$$

• 布儒斯特定律

$$\tan i_B=\frac{n_2}{n_1}$$

其中 $n_2$ 是反射面下的介质折射率，$n_1$ 是反射面上的

光的双折射

• 寻常光：遵守折射定律的一束，称为 o 光，o 光是线偏振光，其在晶体内四处传播速率相等（波阵面是球面），振动方向垂直于其主平面

• 非寻常光：不遵守折射定律的一束，称为 e 光，e 光是线偏振光，其在晶体沿光轴方向传播速率与 o 光相等（波阵面是旋转椭球面），振动方向平行于其主平面

• 光轴：光沿光轴方向传播时，没有双折射现象

• 主平面：一束光和光轴形成的平面

• 正晶体：o 光传播速度快于 e 光，球面包裹椭球面

• 负晶体：e 光传播速度快于 o 光，椭球面包裹球面

• 波晶片：光轴平行于晶面。

  • 一束单色线偏振光垂直入射波晶片时，产生的 o 光和 e 光的光程差为：
  $$\delta=|n_o-n_e|d$$
  • 相位差为：
  $$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}|n_o-n_e|d$$
  • 四分之一波晶片：光程差等于 $\frac{\lambda}{4}$，相位差等于 $\frac{\pi}{2}$
  • 半波片：光程差等于 $\frac{\lambda}{2}$，相位差等于 $\pi$
  • 全波片：光程差等于 $\lambda$，相位差等于 $2\pi$

早期量子论和量子力学基础

热辐射 能量子假设

• 热辐射：原子受热而发射电磁波

• 辐射能：物体向四周发射的能量称为辐射能

• 平衡热辐射：辐射的能量等于同一时间吸收的能量

• 辐出度 $M(T)$：单位时间内从物体单位表面积上辐射出射的各种波长的总辐射能

• 单色辐出度 $M(\lambda,T)$：单位时间内从物体单位表面积上辐射出射的波长范围为 $(\lambda,\lambda+\text{d}\lambda)$ 的辐射能，即

$$M(\lambda,T)=\frac{\text{d}M(T)}{\text{d}\lambda}$$

• 单色吸收比：物体吸收波长范围为 $(\lambda,\lambda+\text{d}\lambda)$ 的辐射能与相应波长范围内入射的辐射能之比，值在 0 到 1 之间

• 黑体：任何温度下对任何波长的辐射能的吸收比都为 1

• 同样温度的热平衡条件下，各种物体对相同波长的单色辐出度和单色吸收比的比值都相等，且等于同温度下黑体对同一波长的单色辐出度

• 黑体辐射实验定律

  • 斯特藩-玻尔兹曼定律
  $$M_0(T)=\sigma T^4$$

  其中 $M_0(T)$ 是黑体总辐出度，$\sigma$ 是斯特藩常量

  • 维恩位移定律
  $$T\lambda_m=b$$

  其中 $\lambda_m$ 是黑体单色辐出度的峰值对应的波长，$b$ 是维恩常量

• 能量子假设：黑体辐射由大量带电的谐振子组成，它们可以发射和吸收辐射能。谐振子的能量是分立的，并且只能是最小能量 $\varepsilon$ 的整数倍，$\varepsilon=h\nu$，$h$ 是普朗克常数

光电效应 光子理论

• 光子光量子：单个光子能量为 $h\nu$

• 饱和电流：一定光强下，加速电势差增大，光电流增大，直到饱和。饱和电流与入射光的强度成正比

• 遏止电压：增加反向电势差，直至光电流为 0，这个电势差的绝对值称为遏止电压。遏止电压与光强无关，与入射光的频率成线性关系，与材料相关

• 截止频率红线频率：发生光电效应的最小频率，低于此频率无论光强和时间都没有光电效应发生。截止频率与材料有关

• 逸出功 $A$：电子从金属表面溢出所需要的最小功

• 爱因斯坦光电效应方程

$$h\nu=\frac{1}{2}mv^2_m+A$$

其中 $\frac{1}{2}mv^2_m$ 是光子的最大初动能

• 当最大初动能为 0，即刚好发生光电效应，此时求得的 $\nu$ 为截止频率

• 光的波粒二象性

  • 动质量 $m_\varphi$：由质能关系，$h\nu=m_\varphi c^2$，故 $m_\varphi=\frac{h\nu}{c^2}$
  • 动量 $p$：$p=m_\varphi c=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}$

康普顿效应

• 散射波长的偏移量 $\Delta \lambda$ 为：

$$\Delta\lambda=\frac{2h}{m_0c}\sin^2\frac{\varphi}{2}$$

其中 $\varphi$ 是散射角，指的是光子偏移原路径的角度，$m_0$ 是电子静止质量

• 入射光子能量为 $E$，散射光子能量为 $E'$，电子静质量为 $m_0$，则能量满足如下等式

$$\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}=\frac{1-\cos\varphi}{m_0c^2}$$

要使电子获得最大能量，光子碰撞后原路返回，即 $\phi=\pi$

氢原子光谱 玻尔的氢原子理论

• 里德伯方程

$$\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2})$$

表示从 $n$ 能级跃迁到 $k$ 能级放出的一系列光的波长

• 氢原子各谱系

  • 莱曼系：$k=1,n=2,3,...$
  • 巴尔末系：$k=2,n=3,4,...$
  • 帕邢系：$k=3,n=4,5,...$
  • 布拉开系：$k=4,n=5,6,...$
  • 普丰德系：$k=5,n=6,7,...$
  • 汉弗莱系：$k=6,n=7,8,...$

• 玻尔的氢原子理论

  • 定态假设
    1. 电子做圆周运动（错误）
    2. 运动时不辐射电磁波（正确）
    3. 定态的能量不连续（正确）
  • 跃迁假设：原子从一个能量为 $E_1$ 的定态跃迁到另一个能量为 $E_2$ 的定态时，要吸收或放出一个光子，满足 $h\nu=|E_2-E_1|$
    • 角动量量子化条件 $L=n\frac{h}{2\pi}$

• 能级

• 基态

• 激发态

德布罗意波 微观粒子的波粒二象性

• 德布罗意波：粒子以 $v$ 运动，则粒子表现出的平面单色波波长是：

$$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$$

其中 $m$ 是粒子动质量，$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

• 微观粒子的波粒二象性：微观粒子不仅有粒子性，还有波动性，但二者不能同时表现出来

不确定性原理

• 海森堡坐标和动量的不确定性关系

$$\begin{aligned} & \Delta x\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \\ & \Delta y\Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2} \\ & \Delta z\Delta p_z \ge \frac{\hbar}{2} \\ \end{aligned}$$

• 能量和时间的不确定关系

$$\Delta E\Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$$

波函数及其统计诠释

• 光子在某处附近出现的概率正比于光强

• 粒子在某时刻某地点出现的概率正比于该时刻该地点波函数的平方

• 概率密度等于波函数的平方 $|\Psi|^2$

• 归一化条件

$$\int_V|\Psi|^2\text{d}V=1$$

• 波函数是单值、有限、连续（包括一阶导数连续）的，而且是归一化的

薛定谔方程

• 定态薛定谔方程

$$\nabla^2\psi+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U)\psi=0$$

其中 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算符，$E$ 是一个常量，等于 $\text{i}\hbar\frac{\text{d}{f(t)}}{\text{d}t}\frac{1}{f(t)}$，$\text{i}$ 是虚数单位，$f(t)$ 是时间函数，$U$ 是势能，$\psi$ 是定态波函数

一维定态薛定谔方程的应用

• 一维无限深势阱

  • 一维无限深势阱的势能分布
  $$U(x)= \left \{ \begin{matrix} 0, \quad 0<x<a \\ \infty, \quad x\le0 , x\ge a \end{matrix} \right.$$

其中 $a$ 是势阱的宽度

• 定态波函数

$$\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned} & \psi_{external}(x)=0 \\ & \psi_{internal}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi}{a}x \end{aligned} \end{matrix} \right.$$

• 粒子能量的取值是分立的

$$E=E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \quad n=1,2,3,...$$ $E_n$ 称为粒子的能级或本征能量

• 粒子能量不能为 0，$n = 1$ 的能量称为基态能或零点能

• 势阱中例子出现的概率随位置而变化，波函数平方得概率密度函数，积分可得概率

• 粒子的物质波在势阱中形成驻波。在势阱壁 $(x=0,x=a)$ 处，不同能量的粒子对应的波均为波节，粒子出现概率为 0

• 一维势垒 隧穿效应

• 谐振子

量子力学中的氢原子问题

• 四个量子数

  • 主量子数 $n$：大体决定原子中电子的能量
  $$n=1,2,3,...$$
  • 角量子数 $l$：决定轨道角动量，$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar$
  $$l=0,1,2,...,(n-1)$$
  • 磁量子数 $m_l$：决定角动量在外磁场方向上的分量，$L_z=m_l\hbar$
  $$m_l=0,\pm1,\pm2,...,\pm l$$
  • 自旋磁量子数 $m_s$：决定电子自旋角动量在外磁场上的分量
  $$m_s=\pm \frac{1}{2}$$

• 原子的电子壳层结构

  • 泡利不相容原理：一个原子内不可能有两个或两个以上的电子具有相同的四个量子数
  • 能量最小原理：原子系统处于正常状态时，每个电子都倾向于占据最低的能级
    • 徐光宪定则：能级高低以 $n+0.7l$ 决定，比如 3d 高于 4s